Najprawdopodobniej w codziennym życiu zetknąłeś się z jednostronnymi przedmiotami setki razy - jak uniwersalny symbol recyklingu, wydrukowany na odwrocie aluminiowych puszek i plastikowych butelek.
Ten obiekt matematyczny nazywa się paskiem Mobiusa. Fascynuje ekologów, artystów, inżynierów, matematyków i wielu innych od odkrycia w 1858 roku przez Augusta Möbiusa, niemieckiego matematyka, który zmarł 150 lat temu, 26 września 1868 roku.
Möbius odkrył jednostronny pasek w 1858 r., Pełniąc jednocześnie funkcję katedry astronomii i wyższej mechaniki na uniwersytecie w Lipsku. (Inny matematyk o nazwisku Listing faktycznie opisał to kilka miesięcy wcześniej, ale opublikował swoją pracę dopiero w 1861 r.). Möbius zdaje się napotykać pasek Möbiusa podczas pracy nad geometryczną teorią wielościanów, brył złożonych z wierzchołków, krawędzi i płaskich powierzchni .
Pasek Möbiusa można utworzyć, biorąc pasek papieru, nadając mu nieparzystą liczbę półkrętów, a następnie łącząc końce z powrotem, tworząc pętlę. Jeśli weźmiesz ołówek i narysujesz linię wzdłuż środka paska, zobaczysz, że linia najwyraźniej biegnie wzdłuż obu stron pętli.
Koncepcja jednostronnego obiektu zainspirowała artystów takich jak holenderski grafik MC Escher, którego drzeworyt „Möbius Strip II” pokazuje czerwone mrówki czołgające się jeden po drugim wzdłuż paska Möbiusa.
Pasek Möbius ma więcej niż jedną zaskakującą właściwość. Na przykład spróbuj wziąć nożyczki i przeciąć pasek na pół wzdłuż narysowanej linii. Możesz być zaskoczony, gdy nie masz dwóch mniejszych jednostronnych pasków Mobiusa, ale jedną długą dwustronną pętlę. Jeśli nie masz pod ręką kawałka papieru, drzeworyt Eschera „Möbius Strip I” pokazuje, co się stanie, gdy pasek Möbius zostanie przecięty wzdłuż linii środkowej.
Chociaż pasek ma z pewnością atrakcyjny wygląd, największy wpływ wywarł na matematykę, gdzie pomógł w rozwoju całej dziedziny zwanej topologią.
Topolog bada właściwości obiektów, które są zachowywane po przesunięciu, zgięciu, rozciągnięciu lub skręceniu, bez cięcia lub sklejania ze sobą części. Na przykład splątana para wkładek dousznych ma w sensie topologicznym to samo, co splątana para wkładek dousznych, ponieważ zamiana jednej na drugą wymaga jedynie przesuwania, zginania i skręcania. Nie jest wymagane cięcie ani klejenie w celu przejścia między nimi.
Kolejną parą przedmiotów, które są topologicznie takie same, są filiżanka kawy i pączek. Ponieważ oba obiekty mają tylko jeden otwór, jeden można deformować w drugi przez rozciąganie i zginanie.
Kubek zmienia się w pączka. (Wikimedia Commons) Liczba otworów w obiekcie jest właściwością, którą można zmienić tylko przez wycięcie lub sklejenie. Ta właściwość - nazywana „rodzajem” obiektu - pozwala nam powiedzieć, że para wkładek dousznych i pączek są topologicznie różne, ponieważ pączek ma jedną dziurę, podczas gdy para wkładek dousznych nie ma otworów.
Niestety, pasek Möbiusa i dwustronna pętla, podobnie jak typowa silikonowa opaska na rękę, wydają się mieć jedną dziurę, więc ta właściwość jest niewystarczająca, aby je rozdzielić - przynajmniej z punktu widzenia topologa.
Zamiast tego właściwość, która odróżnia pasek Möbiusa od dwustronnej pętli, nazywa się orientowalnością. Podobnie jak liczba otworów, orientację obiektu można zmienić tylko przez wycięcie lub sklejenie.
Wyobraź sobie, że piszesz notatkę na przezroczystej powierzchni, a następnie spacerujesz po tej powierzchni. Powierzchnia jest orientowana, jeśli wracając ze spaceru, zawsze możesz przeczytać notatkę. Na niezorientowanej powierzchni możesz wrócić ze spaceru i odkryć, że słowa, które napisałeś, najwyraźniej zamieniły się w ich odbicie lustrzane i można je czytać tylko od prawej do lewej. W dwustronnej pętli notatka będzie zawsze czytać od lewej do prawej, bez względu na to, dokąd zaprowadziła Cię Twoja podróż.
Ponieważ pasek Möbius jest nieorientowalny, podczas gdy dwustronna pętla jest orientowalna, oznacza to, że pasek Möbius i dwustronna pętla są topologicznie różne.
(Stworzony przez David Gunderman) Kiedy GIF się zaczyna, kropki wymienione zgodnie z ruchem wskazówek zegara są czarne, niebieskie i czerwone. Możemy jednak przesunąć konfigurację z trzema kropkami wokół paska Möbiusa, aby figurka znajdowała się w tym samym miejscu, ale kolory kropek wymienionych zgodnie z ruchem wskazówek zegara są teraz czerwony, niebieski i czarny. W jakiś sposób konfiguracja zmieniła się w swój własny obraz lustrzany, ale wszystko, co zrobiliśmy, to przenieść go na powierzchnię. Ta transformacja jest niemożliwa na orientowanej powierzchni, takiej jak dwustronna pętla.
Pojęcie orientowalności ma ważne implikacje. Weź enancjomery. Te związki chemiczne mają te same struktury chemiczne, z wyjątkiem jednej kluczowej różnicy: są to wzajemne odbicie lustrzane. Na przykład chemiczna L-metamfetamina jest składnikiem inhalatorów Vicks Vapor. Jego odbicie lustrzane, D-metamfetamina, jest nielegalnym narkotykiem klasy A. Gdybyśmy żyli w niezorientowanym świecie, te chemikalia byłyby nie do odróżnienia.
Odkrycie Augusta Möbiusa otworzyło nowe możliwości badania świata przyrody. Badanie topologii nadal przynosi oszałamiające wyniki. Na przykład w ubiegłym roku topologia doprowadziła naukowców do odkrycia dziwnych nowych stanów materii. Tegoroczny Medal Fields, najwyższy zaszczyt w matematyce, został przyznany Akshayowi Venkateshowi, matematykowi, który pomógł zintegrować topologię z innymi dziedzinami, takimi jak teoria liczb.
Ten artykuł został pierwotnie opublikowany w The Conversation.
Dr David Gunderman student matematyki stosowanej, University of Colorado i Richard Gunderman, profesor kanclerza medycyny, sztuk wyzwolonych i filantropii, Uniwersytet Indiana
