Być może w sztuce lub literaturze piękno w ostatnich latach straciło na wartości jako standard osądu lub kryterium doskonałości, uważane za zbyt subiektywne lub kulturowe. Jednak dla matematyków piękno jako wieczna prawda nigdy nie wyszło z mody. „Piękno jest pierwszym sprawdzianem: na tym świecie nie ma stałego miejsca na brzydką matematykę”, pisał brytyjski teoretyk liczb Godfrey Hardy w 1941 r.
Aby posmakować matematycznego piękna, zacznij od swojego ulubionego pubu i zamów mroźny kufel piwa. Połóż go trzy razy na papierowej macie, tworząc trzy pierścienie kondensacji - upewniając się, że zrobisz to w taki sposób, że wszystkie trzy pierścienie przecinają się w jednym punkcie. Teraz zapytaj swoich towarzyszy: Jak duży kubek musiałby pokryć pozostałe trzy punkty przecięcia? Prawie zawsze zakłada się, że tylko gigantyczny kubek służyłby temu celowi. Niespodziewana odpowiedź: ten sam kubek! To całkowicie niezawodne rozwiązanie. (Patrz rysunek po lewej dla dwóch jednakowo ważnych rozwiązań; w każdym przypadku pełne koła są pierwszymi trzema pierścieniami; przerywany okrąg jest czwartym pierścieniem, reprezentującym kubek pokrywający pozostałe trzy punkty przecięcia).
Twierdzenie to zostało opublikowane przez Rogera A. Johnsona w 1916 roku. Twierdzenie koła Johnsona pokazuje dwa podstawowe wymagania dotyczące piękna matematycznego. Po pierwsze, jest to zaskakujące. Nie oczekujesz, że koło tego samego rozmiaru pojawi się ponownie w rozwiązaniu. Po drugie, jest to proste. Pojęcia matematyczne, koła i promienie, są podstawowymi, które przetrwały próbę czasu. Twierdzenie Johnsona pojawia się jednak w dziale urody pod jednym istotnym względem. Najlepsze twierdzenia są również głębokie, zawierają wiele warstw znaczeniowych i ujawniają więcej, gdy więcej się o nich dowiesz.
Jakie fakty matematyczne spełniają ten wysoki standard piękna? Niemiecki matematyk Stefan Friedl opowiedział się za Twierdzeniem Geometrizacji Grigorija Perelmana, dla którego dowód został przedstawiony dopiero w 2003 r. Twierdzenie, które wywołało sensację w świecie matematyków, stanowi kluczowy krok w klasyfikacji trójwymiarowej topologii spacje. (Możesz myśleć o tych przestrzeniach jako o możliwych alternatywnych wszechświatach.) „Twierdzenie o Geometrizacji” Friedl avers „jest przedmiotem oszałamiającego piękna”.
Sprowadzając się do najprostszych terminów, stwierdza, że większość wszechświatów ma naturalną geometryczną strukturę inną niż ta, której uczymy się w szkole średniej. Te alternatywne wszechświaty nie są euklidesowe ani płaskie. Pytanie dotyczy samej krzywizny przestrzeni. Istnieją różne sposoby wyjaśnienia, co to oznacza; najbardziej precyzyjnym matematycznie jest stwierdzenie, że alternatywne wszechświaty są „hiperboliczne” lub „ujemnie zakrzywione”, a nie płaskie.
Matematycy dopiero zaczynają zmagać się z implikacjami. Dane astrofizyczne wskazują, że nasz własny wszechświat jest płaski. Jednak w tych alternatywnych wszechświatach płaskość nie jest stanem naturalnym. Zgodnie z twierdzeniem Perelmana nasz pozornie płaski wszechświat stanowi zaskakujący wyjątek.
Kolejny powód, dla którego twierdzenie to przyciągnęło międzynarodową sławę, ma związek z samym matematykiem. W 2010 roku samotny Rosjanin odrzucił nagrodę w wysokości miliona dolarów za swój przełom w Clay Mathematics Institute w Cambridge, Massachusetts. Oczywiście dla Perelmana piękno matematyczne nie było czymś, za co można było kupić i zapłacić. Zmiana naszego rozumienia wszechświata była wystarczającą nagrodą.
