20 marca amerykańsko-kanadyjski matematyk Robert Langlands otrzymał nagrodę Abla, świętując całokształt osiągnięć w matematyce. Badania Langlands wykazały, w jaki sposób można połączyć pojęcia z geometrii, algebry i analizy za pomocą wspólnego łącza do liczb pierwszych.
Kiedy król Norwegii wręczy nagrodę Langlandsowi w maju, uhonoruje najnowsze w 2300-letnim wysiłku na rzecz zrozumienia liczb pierwszych, prawdopodobnie największego i najstarszego zestawu danych matematycznych. Jako matematyk poświęcony temu „programowi Langlands” fascynuje mnie historia liczb pierwszych i to, jak ostatnie postępy ujawniają ich sekrety. Dlaczego od tysiącleci urzekają matematyków?
Aby badać liczby pierwsze, matematycy przecinają liczby całkowite przez jedną wirtualną siatkę po drugiej, aż pozostaną tylko liczby pierwsze. Ten proces przesiewania doprowadził do powstania tabeli milionów liczb pierwszych w 1800 roku. Pozwala dzisiejszym komputerom znaleźć miliardy liczb pierwszych w mniej niż sekundę. Ale podstawowa idea sita nie zmieniła się przez ponad 2000 lat.
„Liczba pierwsza to ta, która jest mierzona przez samą jednostkę”, matematyk Euclid napisał w 300 rpne Oznacza to, że liczb pierwszych nie można równomiernie podzielić na żadną mniejszą liczbę oprócz 1. Z reguły matematycy nie liczą 1 jako liczba pierwsza. Euklides udowodnił nieskończoność liczb pierwszych - trwają wiecznie - ale historia sugeruje, że to Eratostenes dał nam sito, aby szybko wymienić liczby pierwsze.
Oto pomysł na sito. Najpierw odfiltruj wielokrotności 2, potem 3, potem 5, a potem 7 - pierwsze cztery liczby pierwsze. Jeśli zrobisz to ze wszystkimi liczbami od 2 do 100, pozostaną tylko liczby pierwsze.
Przesiewanie wielokrotności 2, 3, 5 i 7 pozostawia tylko liczby pierwsze od 1 do 100. (Dzięki uprzejmości MH Weissman) Za pomocą ośmiu kroków filtrowania można wyizolować liczby pierwsze do 400. Za pomocą 168 kroków filtrowania można wyizolować liczby pierwsze do 1 miliona. To jest siła sita Eratostenesa.
**********
Wczesną postacią liczb pierwszych jest John Pell, angielski matematyk, który poświęcił się tworzeniu tabel przydatnych liczb. Motywował go do rozwiązywania starożytnych problemów arytmetycznych Diofantosa, ale także do osobistej misji organizowania prawd matematycznych. Dzięki jego staraniom liczby pierwsze do 100 000 były szeroko rozpowszechnione na początku 1700 roku. Do 1800 r. Niezależne projekty sporządziły tabelę liczb pierwszych do 1 miliona.
Aby zautomatyzować żmudne etapy przesiewania, niemiecki matematyk Carl Friedrich Hindenburg użył regulowanych suwaków do wytłoczenia wielokrotności na całej stronie stołu jednocześnie. W innym niskim, ale skutecznym podejściu zastosowano szablony do zlokalizowania mnożników. W połowie XIX wieku matematyk Jakob Kulik rozpoczął ambitny projekt znalezienia wszystkich liczb pierwszych do 100 milionów.
Szablon używany przez Kulika do przesiewania wielokrotności liczby 37. AÖAW, Nachlass Kulik, (Zdjęcie dzięki uprzejmości Denisa Roegla, autor podany) Te „duże zbiory danych” z XIX wieku mogłyby służyć jedynie jako tabela odniesienia, gdyby Carl Friedrich Gauss nie zdecydował się na analizę liczb pierwszych dla własnego dobra. Uzbrojony w listę liczb pierwszych do 3 milionów, Gauss zaczął je liczyć, jedną „chiliadę” lub grupę 1000 jednostek jednocześnie. Policzył liczby pierwsze do 1000, następnie liczby pierwsze od 1000 do 2000, a następnie od 2000 do 3000 i tak dalej.
Gauss odkrył, że gdy liczył wyżej, liczby pierwsze stopniowo stają się rzadsze zgodnie z prawem „odwrotnej logi”. Prawo Gaussa nie pokazuje dokładnie, ile jest liczb pierwszych, ale daje całkiem niezłą ocenę. Na przykład jego prawo przewiduje 72 liczby pierwsze między 1 000 000 a 1 000 000. Prawidłowa liczba to 75 liczb pierwszych, około 4 procent błędu.
Sto lat po pierwszych poszukiwaniach Gaussa jego prawo zostało udowodnione w „twierdzeniu liczby pierwszej”. Błąd procentowy zbliża się do zera przy coraz większych zakresach liczb pierwszych. Hipoteza Riemanna, problem z nagrodami wartymi milion dolarów, opisuje także dokładność oszacowania Gaussa.
Twierdzenie o liczbach pierwszych i hipoteza Riemanna przyciągają uwagę i pieniądze, ale obie kontynuują wcześniejszą, mniej efektowną analizę danych.
.....
Dzisiaj nasze zestawy danych pochodzą raczej z programów komputerowych niż ręcznie wycinanych szablonów, ale matematycy wciąż znajdują nowe wzorce liczb pierwszych.
Z wyjątkiem 2 i 5, wszystkie liczby pierwsze kończą się cyframi 1, 3, 7 lub 9. W 1800 roku udowodniono, że te możliwe ostatnie cyfry są równie częste. Innymi słowy, jeśli spojrzymy na liczby pierwsze do miliona, około 25 procent kończy się na 1, 25 procent kończy się na 3, 25 procent kończy się na 7, a 25 procent kończy się na 9.
Kilka lat temu teoretycy liczb Stanford, Lemke Oliver i Kannan Soundararajan, byli zaskoczeni dziwactwami w ostatnich cyfrach liczb pierwszych. W eksperymencie badano ostatnią cyfrę liczby pierwszej, a także ostatnią cyfrę następnej liczby pierwszej. Na przykład następna liczba pierwsza po 23 to 29: W ostatnich cyfrach widać 3, a następnie 9. Czy wśród ostatnich cyfr liczb pierwszych widzimy 3, a następnie 9, częściej niż 3, a potem 7?
Częstotliwość par ostatniej cyfry, wśród kolejnych liczb pierwszych do 100 milionów. Dopasowane kolory odpowiadają pasującym odstępom. (MH Weissman, CC BY) Teoretycy liczb oczekiwali pewnej zmienności, ale to, co znaleźli, znacznie przekroczyło oczekiwania. Liczby pierwsze są oddzielone różnymi lukami; na przykład 23 to sześć liczb od 29. Ale 3-to-9 liczb pierwszych, takich jak 23 i 29, są znacznie bardziej powszechne niż 7-wtedy-3 liczb pierwszych, mimo że obie pochodzą z odstępu sześciu.
Matematycy wkrótce znaleźli wiarygodne wyjaśnienie. Ale jeśli chodzi o badanie kolejnych liczb pierwszych, matematycy ograniczają się (głównie) do analizy danych i perswazji. Dowody - złoty standard matematyków dla wyjaśniania, dlaczego rzeczy są prawdziwe - wydają się odległe o dziesięciolecia.
Ten artykuł został pierwotnie opublikowany w The Conversation.
Martin H. Weissman, profesor matematyki, University of California, Santa Cruz
